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Ein etwas realistischerer Druckverlauf mit der Höhe

Die Annahme konstanter Temperatur, auf der die barometrische Höhenformel ja beruht, ist eine etwas grobe Vereinfachung. Um ein bisschen mehr zu verstehen, wollen wir einen Schritt weiter gehen und zumindest eine einfache lineare Temperaturabnahme mit der Höhe einbauen. Außer bei Inversionswetterlagen im Winter ist das oft eine gute Näherung.
Anstatt der Differentialgleichung
dp/p = - m*g/(k*T) * dh
(die die Exponentialfunktion liefert)
muss man nun die Differentialgleichung
dp/p = - mg/k(T0-a*h) * dh
lösen, wobei die Temperatur in der Höhe h eben durch T0-a*h gegeben ist.
Die Lösung ist
Formel 1
m ist die mittlere Masse der Luftteilchen (29 g/mol), g die Erdbeschleunigung (9.81 m/s2), k die Boltzmannkonstante bzw. (wenn die Masse pro Mol angegeben ist) die Gaskonstante (8.31 J/molK), und a der Temperaturgradient. Für letzteren ist ein Wert von 10 Grad pro 1000 Meter bei trockenem Wetter bzw. 6.5 Grad pro 1000 Meter bei Niederschlag ein allgemein anerkannter Wert (der "trockenadiabatische" bzw. "feuchtadiabatische" Temperaturgradient). Nun berechnen wir den Temperatur- und Druckverlauf in der Höhe für zwei verschiedene Fälle, nämlich eine Temperatur T0 auf Meereshöhe von 30°C beziehungsweise 0°C, jeweils für den trockenen und den feuchten Fall. Die 30°C wären für beispielsweise den Himalaya angepasst, die 0°C für Gegenden wie Alaska.
Wir erhalten den folgenden Verlauf:
Diagramm 1 Diagramm 2
Die Temperaturen machen eher nur für 6.5°/1000m Sinn. Der Druckverlauf sieht an sich nicht so spektakulär aus. Daher tragen wir das Ganze im interessanten Bereich vergrößert auf für die beiden Situationen T0=0°C und T0=30°C, im feuchtadiabatischen Fall (6.5°/1000m).
Diagramm 3
Dieser Grafik kann man nun leicht entnehmen, dass das 550 mbar-Niveau im "Kalten" schon bei 4600 m, im "Warmen" erst bei 5150 m liegt. Das 450 mbar-Niveau liegt in der angenommenen kalten Umgebung um 650 m tiefer. Das wäre die Situation für den Denali, der Luftdruck am Gipfel wäre also derselbe wie auf einem um 650 Meter höheren Berg in den Tropen.

Es gibt zwei weitere Effekte, die den Luftdruck von der geographischen Breite abhängig machen:
  • Kräfte auf die Lufthülle aufgrund der Erdrotation
    Im Vergleich zur mittleren Erdbeschleunigung g=9.81 m/s2 ist die Zentrifugalbeschleunigung am Äquator (wo sie am größten ist) gzent=0.034 m/s2, die Abweichung beträgt also nur 0.34 %.
  • Unterschied der Erdbeschleunigung g an Äquator bzw. Pol aufgrund der Abplattung der Erde
    Der Polradius der Erde ist um 21 km geringer als der Äquatorradius. Damit ergibt sich am Pol eine Erdbeschleunigung, die 100.7 % der am Äquator entspricht. In der einfachen exponentiellen Formel wirkt das wie eine um 0.7 % verringerte Temperatur, also z.B. von 20°C (293 K)(Äquator) auf 18°C (291 K)(Pol).
Der echte Temperatureffekt ist also viel ausgeprägter als diese beiden Effekte.
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Letzte Änderung am 19. Dezember 2005 durch Hartmut Bielefeldt (Die Begriffe trocken- und feuchtadiabatisch waren verwechselt, ist nun korrigiert.)